在这节课中，我们将学习电通量和高斯定律。在静电学中，高斯定律的主要目标是电场对于给定的电荷分布，由封闭的表面包围。

您可以观看以下视频或阅读视频下方的书面教程。

电量

为了理解高斯定律，首先我们需要理解电通量这个术语。

电通量是电场通过给定表面的流量。

它是穿透表面的电场的量。该表面可以打开或关闭。

电通量通过开口表面

首先，我们将看一个通过开放表面的电通量的例子。

红线表示一个均匀的电场。我们将场引入一个矩形，这是一个开放区域，我们将它分成很小的单元，每个单元的大小为dA(面积的微分)。

现在我们将使地区成为向量，一个幅度da。矢量方向始终垂直于小元素DA。

通过这个小面积dφ的电通量(也称为通量的微分)，定义为电场E的大小和矢量面积dA的大小的点积，乘以这两个矢量θ之间的夹角。

总通量将是Dφ的积分，或者在E·DA的整个区域上的积分。

它是标量数量，最终结果可以是积极的或消极的。如果磁通量从内部到外部，我们称之为积极的助焊剂，如果它从外面到内部，那就是负面的助焊剂。

电通量的单位是牛顿米的平方每库仑(Nm)²/C）。

为了更好地理解什么是电通量，我将在电场中引入三个矩形。事实上，这些矩形代表一个具有不同方向的矩形。现在让我们解释通过这些开放区域的通量。

在第一情况下，该区域垂直于电场，并且其向量θ之间的角度为0°。Cos0°是1，因此电量将是EDA。在这里我们有最大助焊剂。

在第二种情况下，E和DAθ之间的角度为60°，COS60°为0.5，因此电量将是半EDA。

在第三种情况下，面积平行于电场，这意味着它们的矢量相互垂直，它们之间的夹角θ是90°。Cos90度是0，所以这里的电通量是0。这意味着没有东西能穿过那个长方形，所以我们找到了她零助焊剂。

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通过封闭表面电量

现在，让我们看一个完全封闭的曲面。

我们如何定义助焊剂？

在这里，我们将一些法线，das置于不同的方向。按照惯例，封闭表面的正常始终从内部到外部点。

现在我们可以计算通过这个封闭表面的总通量。总通量等于dφ在整个曲面上的积分，也就是E·dA在封闭曲面上的积分。

总通量可以是正的，负或等于零。如果相同量的助焊剂进入并离开表面，我们有零总通量。如果离开的通量比进入的通量多，我们就有阳性总助焊剂。相反，如果进入表面的通量大于离开表面的通量，我们有a消极的总通量。

高斯定律

让我们来看看另一个例子，看看电流如何与高斯定律有关。

在一个半径为r的球的中心，有一个点电荷+Q，现在，我们取一小段dA，这个向量垂直于这个表面，呈放射状向外。Q在这一点产生的电场也是径向向外的。这意味着dA和E在球面上的任何位置都是平行的，它们之间的夹角θ是0°，cos0°是1。

通过小表面积dφ的通量微分等于EdA。

总通量φ将是Dφ的积分，这是封闭表面EDA的整体。电场到处的电场的大小是相同的，因为从充电的距离在每个点处相同，所以我们可以拉出积分，我们留下了ea。

球面A的总面积为4πR²。

从之前的视频中我们知道E等于k乘以Q除以r²等于Q除以4πE_0.R.²。

通过这个封闭曲面的总通量就是E乘以4πR²。在这里，我们可以取消4πr²，我们注意到总通量等于Q除以E_0., E_0.是自由空间的介质。

磁通量不依赖于距离r。无论在点电荷周围的封闭表面的大小，我们都会得到相同的结果。

如果我们把更多的电荷带进封闭表面呢?

等式还应持有内部的任何收费系统。

这就引出了高斯定律，它说，通过一个封闭表面的电通量，等于封闭表面内所有电荷Q的总和，除以自由空间的介电常数E_0.。

如果磁通量为零，则表示形状内没有净电荷。形状内部可能存在正极和负电荷，但净为零。

无论形状多么奇怪，高斯的法律总是持有，只要在表面内的电荷分布中存在对称性。

所以，为了计算电场，你需要一个对称性。还有三种对称类型：球形，圆柱形和平面对称性。

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球对称:由点电荷产生的电场

我们将从球面对称开始。

这是一个薄的空心球，半径是R，我们将带一个正电荷Q到薄的壳层上。电荷是均匀分布的。

现在，我们需要在球体内找到电场，距离r₁从中心到球外，距离R₂从中心。为此，我们需要确定我们的高斯表面。在这种情况下，我们将选择同心的球体作为高斯表面，一个较小的半径r₁和其他较大的半径r₂。

现在我们需要使用两个对称参数来帮助我们计算电场:

1. 第一对称参数表明，电场的大小在任何时候都是相同的，因为这里的电荷均匀分布。
2. 第二个关于对称性的论证表明，如果有一个电场，它必须是向外或向内的。在这个例子中，我们有一个正电荷，这意味着电场是向外的。

从先前的等式中，我们知道球体的表面积，即4πr²乘以电场E的大小等于球Q内的电荷，除以自由空间E的介电常数_0.。但是我们在小的球里面没有电荷，所以电场是零。

如果封闭表面没有封闭净电荷，则通过它的净通量将为零。

现在，让我们看看较大的球体会发生什么。

对称参数也适用于此球体。但是，如果我们看看等式，我们会注意到q不零，那里有一个球体。

所以电场的大小就等于Q_封闭除以4πE_0.R.₂²。

球对称图

在该图上，我们在X轴上的距离r，以及Y轴上的电场E的大小。直到点R，即初始球体的半径，我们没有电场，但随后它达到其最大值，随着距离的增加而降低。

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圆柱对称：电场由于电荷线

第二种对称是圆柱对称。

假设我们有一个无限的正电荷,与均匀线性电荷密度λ,我们要算出电场线上方,在距离r .,我们将选择一个气缸作为高斯表面与中心沿着线。我们没有通过端盖的电场，电场会穿过柱壁向外。另外，这里有对称性，我们可以用高斯定律来计算电场。

我们可以用之前用过的方程来计算通量。但是现在，我们需要找到圆柱的表面积包括圆柱壁，没有端盖。为了达到这个目的，我们需要沿着圆柱的长度来切割它，我们会发现面积等于2πrL。2πRL乘以E等于包含的电荷除以E_0.。

电荷密度λ是每长度L的总电荷Q，所以Q_封闭等于λL。2πRLE等于λL除以E_0.。

电场等于λL除以2πRLE_0.。l取消外，所以电场等于λ除以2π_0.。

平面对称：电场由于无限的板

最后一种对称是平面对称。

在这个例子中，我们有一个平坦，无限的大水平板。我们将为该板带来充电，具有均匀的电荷密度σ。

σ实际上是每面积上的电荷量，用每平方米库仑(C/m)表示²)。

现在，我们想计算该板的周围区域的电场，让我们在距离d。在这种情况下，我们将再次选择一个气缸作为高斯表面。汽缸与板相交，并且在该交叉点中，我们具有封闭的电荷。

为了能够计算电场，我们需要满足三个条件:

1. 首先，具有区域A的气缸端盖必须平行于板。
2. 其次，圆筒的壁必须垂直于板。
3. 第三，从板到端盖D的距离必须相同，在板上和下方。

既然我们满足了对称性的要求，我们就可以用高斯定律来计算电场了。我们不会有任何水平的电场分量，只有垂直的，从两个端点出来。

σ等于电荷除以表面。从这个方程我们可以看出电荷Q等于σ乘以面积A。

从气缸壁面流出的通量等于零，因此总通量由两部分组成:通过上盖的通量加上通过气缸下盖的通量。这等于Q_封闭除以E._0.，或σa除以e_0.。而且通过顶部的磁通量和通过底部的通量可以表示为EA，因此总通量等于2ea。

最后，电场等于除以2E_0.。

如果平板带正电，电场就会向外。如果平板带负电荷，电场就会向内。

平面对称性的图表

如果我们在x轴上的距离d绘制一个图表，并且在y轴上的电场e上，我们会注意到电场的恒定值σ/ 2e_0.，并且它不依赖于与飞机的距离。

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平面对称：由于两个平行板引起的电场

现在让我们来看看两个无限大的平行板的另一个复杂情况。

第一板具有表面电荷密度+σ，下面的板具有表面电荷密度-Σ。它们之间的距离是d。

所以，空间中任意位置的电场是什么?

带正电的板具有指向远离板的电场，等于Σ/ 2e_0.。它不依赖于距离板的距离，因此它继续下面。

带负电的板具有指向板的电场，也等于Σ/ 2e_0.。

为了计算总电场，我们将通过添加向量来使用叠加原理。

沿相反方向抵消的矢量抵消，因此电场为零。板之间的矢量沿相同的方向，因此电场是σ/ e_0.。

电场线将指向远离带正电的平板朝向带负电的平板，外面的电场将为零。

这一切都是为了电量和高斯的法律。我希望你喜欢这个教程并学会了新的东西。随意询问以下意见部分中的任何问题。